Música numérica

¿Qué es la música?, sí, cierto, algo complicado de definir.

Música: 1. Sucesión de sonidos compuesta, según ciertas reglas, de modo que resulta grata al oído.

María Moliner (Diccionario de uso del español)

Pues bien, si existe algo con reglas, eso son las Matemáticas, así, lo que pretendemos es ver como suenan algunos de sus elementos.

¿Cómo hacer sonar los números?

Esto sí es sencillo. Para empezar, recordaremos al lector que las notas musicales se separan en tonos y semitonos, y recordaremos también que, en términos humanos, hay siete notas :

Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si

Como sabe además, existe una "distancia musical", esto es, una separación medible entre nota y nota. Digamos que la unidad de medida se denomina semitono, y es, por ejemplo, la distancia que hay entre las notas Mi y Fa:

Sin embargo el resto de notas distan entre sí un tono, es decir, dos semitonos $\left(2\frac{T}{2}=T\right)$. Se tienen, por tanto, 12 notas musicales.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Do	Do#	Re	Re#	Mi	Fa	Fa#	Sol	Sol#	La	La#	Si

Puede que su mente esté justamente pensando, pero...las notas continuan, ¿no?. Pues sí, pero son las mismas, esto se denomina armonía.

Las siguientes notas, son los armónicos de Do, hasta donde su oído, señor humano, puede escuchar:

¿Y hacia abajo? Pues, numéricamente es posible, pues para eso tenemos los enteros negativos ($\mathbb{Z}$) y musicalmente, las tonalidades graves:

¿Y cómo hacemos ahora sonar los número?

El más sencillo todavía. El sistema numérico decimal, permite escribir cualquier número real como una sucesión de guarismos , a saber 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Algunos números poseen infinitos términos en esta sucesión, y además, sin patrones de repetición, son los denominados número irracionales.

Un número irracional que ha ganado fama en los últimos años es el número aureo, el número de oro, el de la divina proporción, éste es

$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180339887498948482\ldots$

Para escucharlo llegaremos a un convenio. Si cada uno de sus dígitos indicara una nota, caeríamos irremediablemente en una aburrida y monótona partitura , por lo tanto, convendremos en entender los dígitos apareados de modo que, el primero de cada par sea la nota y el segundo su medida, es decir, el tiempo que esta nota será mantenida.

Por ejemplo, como $\phi$ comienza con la pareja (1,6), comenzará con la nota Do, mantenida el 60% de un tiempo. Como el par siguiente es (1,8), volverá a sonar Do, ésta vez, con un poco más de duración. Es decir

Si abordara usted a un matemático cualquiera con la pregunta -¿Qué números irracionales son los más afamados?- sin duda, respondería-$\sqrt{2},\pi,e $.¿ Les parece, entonces, que veamos cómo suena la música matemáticas popular?

Así suena $\sqrt{2}$

Así $\pi$

Y, de esta manera el número de Euler

Puede que le parezca extraña, o aburrida, puede que incluso estridente. ¡¡Ay!! hombre de poca fe, tenga usted paciencia, los número irracionales tienen infinitas cifras decimales y como dijimos nunca se repiten, por lo tanto, es cuestión de tiempo que llegue usted a algún pasaje grato para sus oídos. De momento, pueden seguir escuchando los 541 primeros decimales de nuestros bien conocidos irracionales.

La ecuación de Fermat

La ecuación de Fermat es simple, sencilla y asequible para casi todas las mentes.

$$x^n+y^n+z^n\;\;n\in\mathbb{N}\hspace{1cm}(1)$$

Posee, en cualquier caso ( léase, para cualquier exponente natural n), infinitas soluciones y encontrarlas,puntualmente, es cosa de niños.

Por ejemplo, la ecuación cuando $n=3$ sería

$$x^3+y^3=z^3\hspace{1cm}(2)$$

y obterner soluciones, cuantas se quiera, es tan sencillo como tomar una calculadora de estudiante, de las que permiten hacer potencias y raíces de cuaquier índice.

Así, tomados dos números cualesquiera; su número de la suerte, por ejemplo, el $17$ y su número de piso, supongamos el $5$; asignados a la ecuación $(2)$ en lugar de $x$ e $y$

$$17^3+5^3=z^3\hspace{1cm}(3)$$
$$4913+125=z^3\hspace{1cm}(4)$$
$$5038=z^3\hspace{1cm}(5)$$
$$17.14\ldots\simep\sqrt[3]{5038}=z\hspace{1cm}$$

Los valores $(x,y,z)=(17,5,17.14...)$ constituyen una solución de $(2)$, la ecuación de Fermat para el caso $n=3$.

El lector podrá hacerse cargo de que el proceso descrito en $(3), (4), (5)$ y $(6)$ es elemental y puede realizase tantas veces como se desee, obteniendo así multitud de soluciones, en la mayoría de los casos mediante aproximaciones como la hecha en $(6)$.

Al ser entonces dichas soluciones triplas ordenadas de números, su representación en un diagrama cartesiano tridimensional es inmediata.

¿Podríamos entonces ser capaces de ver las ecuaciones de $(1)$ como un objeto tridimensional?

Pues sí:

¿Y dónde está el interes de esta ecuación?

Pues bien, como se indicó encontrar soluciones es fácil, lo dificil está en buscar soluciones enteras, es decir, números tales como el $1,2,3,\ldots$ el $0$ y el $-1,-2,-3,\ldots$

Para el caso $n=2$, la ecuación de Fermat es de sobra conocida, el Teorema de Pitágoras

$$x^2+y^2=z^2\hspace{1cm}(7)$$

Sus soluciones enteras reciben la denominación de "ternas pitagóricas" y son sencillas de encontrar particularmente, pruébese. Más complicado sería el caso de la ecuación $(2)$ si descartamos soluciones en las que x, y o z sean cero, que serían soluciones inmediatas, como por ejemplo $(x,y,z)=(-1,1,0)$ ó $(x,y,z)=(-1,0,-1)$. ¿Quiere usted intentarlo? ¿No? Pues hace bien, perdería usted el tiempo, no las hay.

Pierre de Fermat: El príncipe de los aficionados

En algún momento de la segunda mitad del siglo XVII, Pierre de Fermat, el consejero de la Corte Suprema de Toulouse (Francia), comenzó a interesarse por las matemáticas como parte de la corriente humanista que circulaba por Europa.

Una de las inspiraciones de Fermat fue una copia de una de las obra clásicas más relevantes de la Historia, La Aritmética de Difanto, traducida por Bachet al griego y al latín en 1621. En ésta, sobre sus márgenes, Fermat escribía observaciones, proposiciones y teoremas.

En particular, sobre un estudio que, en La Artimética, se desarrollaba sobre ternas pitagóricas, Fermat escribió:

No se puede dividir un cubo en dos cubos, ni una potencia cuarta en dos potencias cuartas y en general ninguna potencia superior a la segunda hasta el infinito en dos del mismo exponente: He encontrado una demostración admirable. No cabría en este estrecho margen.

Es decir, a ecuación $(1)$ no tienen soluciones enteras ( $x$, $y$,$z$ no nulos) si $n>2$.

Sin embargo, nunca se encontró dicha demostración, ni siquiera tras las publicaciones que su hijo hizo de cuantos trabajos y cartas se encontraron de su padre.

Es más, durante 350 años casi todos los matemáticos de nuestra Historia moderna intentaron, sin acierto, encontrar una demostración. En 1995, Adrew Wiles demostró el llamado Último Teorema de Fermat, poniendo fin a uno de los problema, si no más importante, más famoso de nuestra era.

Entendiendo un poco el problema

Visto que la ecuación de Fermat tiene, en cualquier caso n, una identidad geométrica asociada, en verdad una variedad bidimensional, y entendiendo las soluciones enteras como una matriz de puntos, el Teorema de Fermat afirma que: Salvo el cono, correspondiente con la ecuación (3) ninguna otra "geometría" asociada a $(1)$ pasa por puntos no triviales de esa matriz, formada por ternas de números enteros.

Para el caso $n=5$, y alejándonos un poco más del centro de referencia podemos ver

Y sólo gracias al Teorema de Fermat, podemos afirmar que dicha "geometría" no toca a ninguno de los puntos ( salvo los triviales $(1,0,1),(-1,1,0),\ldots)$